عدد اول ۴۱ دریچه ای برای تولید اعداد اول دیگر و محدودیتی برای همان نظم

 چه چیزی می تواند یک عدد اول معمولی را به نقطه آغاز یک معمای ریاضی تبدیل کند؟ عدد 41 شاید در نگاه اول تفاوتی با دیگر اعداد اول نداشته باشد؛ اما وقتی رد آن را در یکی از مشهورترین فرمول های ریاضی دنبال می کنیم، به الگویی شگفت انگیز می رسیم که سرانجام، درست در لحظه ای غیرمنتظره، نظم خود را از دست می دهد. لئونارد اویلر، ریاضی دان برجسته سوئیسی، فرمول زیر را در سال ۱۷۷۲ معرفی کرد: n^2+n+41 

شگفتی این فرمول آن است که برای تمام اعداد صحیح n از صفر تا ۳۹، عدد اول تولید می کند. 

برای مثال، اگر n=1 باشد، حاصل ۴۳ است؛ 

و اگر n=2 باشد، حاصل ۴۷ خواهد بود. 

این روند، دنباله ای چشمگیر از اعداد اول می سازد. اما این نظم سرانجام شکسته می شود، در n=40 گویی این فرمول چله نشین می شود و عدد اول تولید نمی کند بلکه مربع عدد 41 را بوجود می آورد.

 یعنی اگر n=40 باشد، خواهیم داشت: 

2^41+40+40=2^41

 حاصلی که با اتحاد مربع مجموع دو جمله نیز قابل محاسبه است. این مثال یکی از درس های مهم نظریه اعداد را نشان می دهد: یک الگو ممکن است در موارد بسیاری درست باشد، اما این به معنای درستی همیشگی آن نیست. حتی فرمولی که تعداد زیادی عدد اول تولید می کند، تضمین نمی کند که همه حاصل های بعدی نیز اول باشند. شاید جذابیت عدد ۴۳ در همین نکته باشد: گاهی یک عدد کوچک، دریچه ای به پرسشی بزرگ درباره نظم و محدودیت در ریاضیات باز می کند.