عدد اول ۷۱؛ پیوندی میان مسئله ای مشهور و الگویی خاص

عدد ۷۱ یکی دیگر از اعضای مجموعه شگفت انگیز اعداد اول است که جزو دوقلوها و قل اول بخساب می آید، این عدد یکی از سه عدد شناخته شده ای است که در مسئله بروکارد (Brocard's Problem) ظاهر می شود؛ مسئله ای که به دنبال زوج هایی از اعداد طبیعی (n,m) است که رابطه زیر را برقرار کنند:

n!+1=m^2

سه جواب شناخته شده این مسئله عبارت اند از:

(4,5)
(5,11)
(7,71)

در حالت سوم، داریم:

1+!7=5040+1=5041=2^71

بنابراین عدد ۷۱ در نتیجه یکی از نمونه های این مسئله مشهور نظریه اعداد ظاهر می شود؛ مسئله ای که هنوز پاسخ نهایی آن مشخص نیست و معلوم نیست آیا جواب های دیگری به غیر از این سه جفت اعداد طبیعی دارد یا نه.

اما ۷۱ یک ویژگی عددی جالب دیگر هم دارد. اگر تمام اعداد اول از ۲ تا ۷۱ را با یکدیگر جمع کنیم، حاصل برابر با ۶۳۹ خواهد شد:
639 = 71 + 67 + 61 + 59 + 53 + 47 + 43 + 41 + 37 + 31 + 29 + 23 + 19 + 17 + 13 + 11 + 7 + 5 + 3 + 2 

و اینجا به رابطه ای قابل توجه می رسییم:

عدد 639 بر عدد 71 بخش پذیر است یعنی:

 9 * 71 = 639

یعنی مجموع تمام بیست عدد اول تا ۷۱، دقیقا بر خود ۷۱ بخش پذیر است و خارج قسمت آن ۹ می شود.

این دو ویژگی از دو مسیر متفاوت به عدد ۷۱ می رسند: در یکی، ۷۱ ریشه دوم یک واحد بیشتر از فاکتوریل ۷ است؛ در دیگری، خود ۷۱ مقسوم علیه مجموع تمام اعداد اول تا خودش است. این عدد در بین اعداد اول می تواند، نمونه ای جذاب برای علاقه مندان نظریه اعداد باشد.