حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از شبکه عصبی کولموگوروف-آرنولد

حل عددی معادلات انتگرال از نوع فردهلم و ولترا به دلیل ساختار انتگرالی و پیچیدگی های مرتبط با کرنل ها همواره از مباحث چالش برانگیز در ریاضیات محاسباتی و مهندسی محسوب می شود. در این پژوهش چارچوبی نوین و کارآمد مبتنی بر شبکه های عصبی کولموگوروف-آرنولد (KAN) جهت حل تقریبی این معادلات ارائه شده است. معماری KAN با جایگزینی توابع فعال سازی ثابت با توابع پایه اسپلاین یادگیری پذیر بر روی یال ها برخلاف شبکه های عصبی پرسپترون مرسوم، انعطاف پذیری بالایی در تقریب توابع پیوسته ارائه می دهد. این رویکرد ضمن حذف نیاز به گسسته سازی دامنه ی مسئله، فرآیند آموزش را بهینه تر می سازد. در این مطالعه از ترکیب نقاط هم محلی برای تعریف تابع هزینه و از الگوریتم های بهینه سازی Adam و LBFGS جهت استخراج پارامترهای شبکه استفاده گردید. نتایج عددی حاصل از پیاده سازی مدل برای دو معادله انتگرال نمونه نشان داد که مدل پیشنهادی به همگرایی بسیار سریع و پایداری دست می یابد به طوری که تابع هزینه مبتنی بر باقی مانده به مرتبه ۱۰^-۹ و خطای ۱۰^-۵ درصد کاهش یافت. انطباق بالای نتایج مدل با پاسخ های تحلیلی و عدم وقوع بیش برازش کارایی و برتری عملیاتی ساختار KAN را در حل معادلات انتگرال اثبات می کند. این پژوهش افق های جدیدی را برای گسترش روش های یادگیری مبتنی بر فیزیک به مسائل پیچیده تر نظیر معادلات دیفرانسیل انتگرال، می گشاید.

کلیدواژه ها:

شبکه عصبی آرنولد کولموگوروف ، معادلات انتگرال ، فردهلم معادلات انتگرال ، ولترا ، آموزش شبکه عصبی ، بهینه سازی عددی