کرانهای بالا و پایین برای انرژی تعمیم یافته گراف ها

محاسبه دقیق طیف ماتریس ها و انرژی گراف ها برای شبکه های بزرگ اغلب از نظر محاسباتی پرهزینه و دشوار است؛ از این رو یافتن کران های تحلیلی برای انرژی گراف ها و تعمیم آن به شاخص های توپولوژیکی یک مسئله بنیادین و کاربردی در نظریه طیفی گراف محسوب می شود. در این مقاله انرژی تعمیم یافته گراف ها بر پایه ماتریس مجاورت تعمیم یافته وابسته به یک تابع متقارن روی درجات رئوس مجاور بررسی می شود. بدین منظور برای یک گراف ساده بدون راس منفرد ابتدا شاخص توپولوژیکی متناظر و ماتریس مجاورت تعمیم یافته تعریف شده و سپس انرژی تعمیم یافته به صورت مجموع قدر مطلق مقادیر ویژه این ماتریس معرفی می گردد. در ادامه با استفاده از روابط، رد خواص طیفی ماتریس و نامساوی های جبری کران های بالا و پایین مختلفی برای انرژی تعمیم یافته بر حسب (tr(A²، دترمینان ماتریس و مقادیر ویژه اکسترمم به دست می آید، همچنین در برخی از این کران ها شرایط لازم و کافی برای برقراری تساوی تعیین می شود. نتایج ارائه شده تعمیمی از برخی کران های کلاسیک انرژی گراف معمولی بوده و چارچوبی مناسب برای بررسی طیفی خانواده ای از شاخص های توپولوژیکی فراهم می آورد.

کلیدواژه ها:

انرژی تعمیم یافته ، گراف ، شاخص توپولوژیکی ، ماتریس مجاورت تعمیم یافته ، مقدار ویژه ، کران طیفی ، دترمینان