بازی کردن با اعداد گویای بین 0 و 1، مسئله میثم

فرض می کنیم متمم هر عدد برابر تفریق آن عدد از 1 است. برای مثال: متمم 3/4 برابر 1/4 است. یا متمم 7/9 برابر 2/9 است. یا متمم 1 برابر 0 است. یا متمم 5/4 برابر 1/4- است. مسئله میثم (مسئله متمم): براساس این مسئله، اگر هر عدد گویای بین 0 و 1 به نام a در نظر بگیریم، سپس متمم آن را حساب کنیم، سپس عدد کوچک تر را بین این دو عدد بر عدد بزرگ تر تقسیم کنیم، به عدد دیگری به نام b می رسیم. اگر برای b نیز دوباره متمم آن را پیدا کنیم، عدد کوچک تر را تقسیم بر عدد بزرگ تر کنیم، به عدد c می رسیم. با ادامه دادن این روند تا آخر، به صورت تکرارشونده به اعداد 0 و 1 می رسیم. مثال: a = 3/5 است. متمم a می شود 2/5 b می شود تقسیم 2/5 بر 3/5 یعنی 2/3 و متمم b می شود 1/3. c می شود تقسیم 1/3 بر 2/3 یعنی 1/2 و متمم c می شود 1/2. d می شود تقسیم 1/2 بر 1/2 یعنی 1 و متمم d می شود 0. e می شود تقسیم 0 بر 1 یعنی 0 و متمم e می شود 1. f می شود تقسیم 0 بر 1 یعنی 0 و متمم f می شود 1. همان گونه که می بینیم، اعداد 0 و 1 تکرار می شود. لازم به ذکر است که این مسئله تنها برای اعداد گویا جواب می دهد و برای اعداد گنگ جواب نمی دهد! در این مقاله در تلاش هستیم تا ببینیم آیا این مسئله مثال نقض دارد یا خیر. و اینکه اگر مثال نقض ندارد، آیا اثبات می شود یا نه؟ و اگر اثبات می شود، اثبات آن چگونه است؟ این مسئله شباهت بسیار زیادی به مسئله 3n+1 (مسئله کولاتز) دارد.

کلیدواژه ها:

اعداد گویا ، تقسیم اعداد ، رسیدن به یک عدد ثابت