ممان اینرسی

1 مهر 1404 - خواندن 9 دقیقه - 37 بازدید

ممان اینرسی یا لختی دورانی، مقاومتی است که اجسام در هنگام شروع به حرکت دایره ای یا توقف از حرکت دایره ای از خود به نمایش می گذارند. اجسام، همواره تمایل دارند وضعیت فعلی خود را حفظ کنند و هنگام تغییر وضعیت (از حالت سکون به حرکت یا حرکت به سکون)، مقاومت مشخصی را از خود به نمایش می گذارند. این مقاومت که به جرم جسم بستگی دارد، با عنوان اینرسی شناخته می شود. اگر تغییر وضعیت، در حرکت دورانی و شتاب زاویه ای مد نظر باشد، به مقاومت مذکور، ممان اینرسی/لختی دورانی می گویند. ممان اینرسی، از مباحث مهم در علوم مهندسی به شمار می رود. در این مقاله، به معرفی تعاریف و فرمول ممان اینرسی به همراه حل چند مثال می پردازیم. علاوه بر این، فرمول ممان اینرسی اشکال معروف هندسی را نیز معرفی می کنیم.

تعریف ممان اینرسی و ارتباط آن با حرکت دورانی را یاد می گیرید.
می آموزید گشتاور و انواع آن را چگونه تشخیص داده و محاسبه کنید.
نحوه استفاده از فرمول های ممان اینرسی برای اشکال رایج را خواهید آموخت.
یاد خواهید گرفت گشتاور دوم سطح با ممان اینرسی چه تفاوتی دارد.
خواهید آموخت چگونه از جدول ها و ابزارهای آنلاین برای محاسبه لختی دورانی بهره بگیرید.
تمرین می کنید چگونه ممان اینرسی را در مسائل مهندسی محاسبه کنید.

فهرست مطالب این نوشته

گشتاور چیست ؟

گشتاور، لنگر یا اصطلاحا «ممان» (Moment)، یک کمیت فیزیکی است که تاثیر نیروی اعمال شده بر یک نقطه از جسم را بر روی پیچش دیگر نقاط آن نمایش می دهد. از این رو، این کمیت، با عنوان «گشتاور پیچشی» (Torque) نیز شناخته می شود. برای درک بهتر مفهوم گشتاور، تصویر زیر را در نظر بگیرید.

در تصویر بالا، یک پیچ توسط آچار در حال بسته شدن است. شخصی که آچار را در دست دارد، به دسته آن نیرو وارد می کند. این نیرو، در انتهای آچار به صورت گشتاور به پیچ اعمال می شود و آن را در جهت باز یا بسته شدن می چرخاند. گشتاور، برابر با حاصل ضرب نیرو در فاصله است. فرمول گشتاور معمولا به صورت زیر نوشته می شود:

M: گشتاور
F: نیروی اعمال شده
d: فاصله از محل اعمال نیرو
α: زاویه بین راستای اعمال نیرو با d (در صورت راست بودن زاویه، عبارت سینوسی برابر با ۱ و از رابطه حذف می شود.)

گشتاور چیست؟ - به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)مطلب پیشنهادی:

مثال ۱: محاسبه گشتاور وارد به پیچ

شخصی در هنگام باز کردن یک پیچ، نیرویی معادل ۱۲۰ نیوتون را به دسته آچار وارد می کند. اگر فاصله بین دست تا پیچ برابر با ۰/۳ متر و زاویه بین دست با راستای این فاصله، برابر با ۱۱۵ درجه باشد، گشتاور وارد بر پیچ چقدر خواهد بود؟

تصویر بالا، پارامترهای معلوم و مجهول در صورت سوال را نمایش می دهد. بر اساس فرمول گشتاور، داریم:

�=��sin⁡(�)M=Fdsin(α)

M: گشتاور وارد بر پیچ
F: نیروی اعمال شده بر آچار برابر با ۱۲۰ نیوتن
d: فاصله از محل اعمال نیرو برابر با ۰/۳ متر
α: زاویه بین راستای اعمال نیرو با d برابر با ۱۱۵ درجه

مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می دهیم:

�=۱۲۰×۰/۳×sin⁡(۱۱۵∘)M=۱۲۰×۰/۳×sin(۱۱۵∘)

�=۳۲/۶۳M=۳۲/۶۳

در نتیجه، گشتاور وارد بر پیچ، برابر با ۳۲/۶۳ نیوتن متر است.

انواع گشتاور کدام هستند ؟

در حالت کلی، گشتاور، به صورت حاصل ضرب نیرو در فاصله تعریف می شود. این کمیت، انواع مختلفی دارد. از انواع پرکاربرد گشتاور می توان به موارد زیر اشاره کرد:

گشتاور اول سطح
گشتاور اول جرم
گشتاور دوم سطح
گشتاور دوم جرم

فیلم آموزش ممان اینرسی در استاتیک - حل مسائل تکمیلی (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

«گشتاور اول سطح» (First Moment of Area)، از ضرب اندازه سطح (مساحت) در فاصله تا مرکز جرم سطح به دست می آید. این فاصله می تواند نسبت به محور X یا محور Y باشد. گشتاور اول سطح، معمولا به منظور تعیین موقعیت مرکز جرم مورد استفاده قرار می گیرد. این کمیت، با حرف Q نمایش داده می شود. تعریف گشتاور اول جرم نیز به همین شکل است؛ با این تفاوت که این گشتاور از ضرب اندازه جرم در فاصله تا مرکز جرم به دست می آید. در مجموع، مرکز جرم، پارامتر بسیار مهمی در محاسبه گشتاور اول است.

مرکز جرم — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)مطلب پیشنهادی:

گشتاور دوم سطح چیست ؟

«گشتاور دوم سطح» (Second Moment of Area)، یکی از مشخصات هندسی جسم است که نحوه توزیع سطوح آن نسبت به یک محور دلخواه را نمایش می دهد. این مشخصه معمولا با حرف I یا J نمایش داده می شود. گشتاور دوم سطح، از رابطه انتگرالی زیر به دست می آید:

�=∫�۲��I=∫y۲dA

مفهوم گشتاور دوم سطح، چندین شباهت و تفاوت با مفهوم گشتاور دوم جرم دارد. در بخش های بعدی، به معرفی این شباهت ها و تفاوت ها خواهیم پرداخت. پیش از این، باید مفهوم اینرسی را تعریف کنیم.

اینرسی چیست ؟

لختی یا «اینرسی» (Inertia)، کمیتی برای نمایش توانایی جسم برای مقابله در برابر تغییر وضعیت سکون یا حرکت است. اینرسی، از جرم مواد نشات می گیرد. هرچه جرم یک جسم بیشتر باشد، اینرسی آن بیشتر خواهد بود. به عبارت دیگر، به حرکت درآوردن آن از حالت سکون یا متوقف کردن آن در حین حرکت سخت تر می شود.

به عنوان مثال، یک سنگ کوچک و یک سنگ بزرگ را در نظر بگیرید. پرتاب سنگ کوچک، ساده تر از پرتاب سنگ بزرگ است. در واقع، سنگ کوچک، مقاومت کمتر در برابر تغییر وضعیت از خود نشان می دهد. این تفاوت، به دلیل تفاوت در جرم سنگ ها و اینرسی آن ها است. سنگ های کوچک، به دلیل وزن کمترشان، اینرسی کمتری دارند. به همین دلیل، راحت تر می توان آن ها را پرتاب کرد (از حالت سکون به حالت حرکت درآورد).

لختی دورانی یا ممان اینرسی چیست ؟

در بخش های قبلی، با مفهوم ممان یا گشتاور و انواع آن آشنا شدیم و فهمیدیم که اینرسی، اساسا همان جرم اجسام است. با این پیش زمینه، به سراغ تعریف ممان اینرسی می رویم. در حرکت دورانی یا حرکت دایره ای، جسم حول یک محور ثابت می چرخد. به این ترتیب، تمام ذرات جسم، بر روی یک مسیر دایره ای شکل و با سرعت ثابت، دوران می کنند. در این شرایط، حرکت ذرات، با یک شتاب زاویه ای همراه است.

جسم سیاه و تمام ذرات آن، در حال حرکت دورانی هستند.

لختی دورانی یا «ممان اینرسی» (Moment of Inertia)، توانایی جسم برای مقاومت در برابر شتاب زاویه ای است. این کمیت، از جمع حاصل ضرب های جرم هر ذره در مربع فاصله آن ذره تا محور دوران به دست می آید. ممان اینرسی، با عنوان گشتاور دوم جرم نیز شناخته می شود.

فرمول ممان اینرسی چیست ؟

ممان اینرسی، با حرف I نمایش داده می شود. فرمول این کمیت عبارت است از:

I: ممان اینرسی
: جرم ذره i امmi
: فاصله ذره i ام از محور دورانri

اهمیت و کاربرد ممان اینرسی چیست ؟

ممان اینرسی، از مشخصات جرمی اشیا است که پایداری و نیروی مورد نیاز برای به حرکت درآوردن آن ها را توصیف می کند. به همین دلیل، این مشخصه به عنوان یکی از پارامترهای بسیار مهم در طراحی قطعات و سازه های مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد. مهندسی مکانیک، هوافضا، عمران و خودروسازی، از حوزه های شناخته شده در زمینه کاربرد لختی دورانی هستند.

ممان اینرسی، به ما نشان می دهد که برای رسیدن به یک شتاب زاویه ای مشخص، به چه مقدار گشتاور یا نیروی دورانی نیاز داریم. با ضرب این کمیت در شتاب زاویه ای، گشتاور یا نیروی مورد نیاز به دست می آید. هر چه ممان اینرسی بیشتر باشد، گشتاور مورد نیاز نیز بیشتر خواهد بود. طراحان با محاسبه دقیق این پارامتر می توانند بین ابعاد، وزن و کارایی سازه، تعادل خوبی را برقرار کنند.

مثال ۲: محاسبه ممان اینرسی

تصویر زیر، سیستمی متشکل از چندین ذره نقطه ای را نمایش می دهد. هر ذره، ۰/۳ کیلوگرم جرم داشته و تمام ذرات بر روی یک صفحه مشترک قرار دارند. با توجه به موقعیت قرارگیری محور دوران، ممان اینرسی سیستم را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن ممان اینرسی یا لختی دورانی سیستم بالا، ابتدا هر یک از نقاط ذره ای را شماره گذاری می کنیم.

فرمول لختی دورانی برای این سیستم، به صورت زیر نوشته می شود:

�=Σ��۲I=Σmiri۲