( توپولوژی عمومی )

توپولوژی عمومی یکی از اصولی ترین حوزه های ریاضیات است که به مطالعه خصوصیات اساسی فضاها و ساختارهای هندسی شان می پردازد. در این حوزه، تمرکز بر روی مفاهیمی همچون فضاهای توپولوژیک، افرازها، پیوستگی، و مفاهیم نزدیکی متمرکز است.

یک فضای توپولوژیک شامل مجموعه ای از عناصر (نقاط) و یک ساختار توپولوژیک است که خصوصیات مطلوب مانند باز بودن مجموعه ها، سرریز به فضای کل، و واحد بودن فضا را تعریف می کند. مثال هایی از فضاهای توپولوژیک شامل فضاهای متریک، فضاهای هم تراشی، و فضاهای توپولوژیک عمومی است. رفتار و روندهایی که در بازهم توپولوژیک انجام می شود بیانگر خصوصیات اساسی فضاها و امکانات تحلیلی آن هاست.

مفهوم افراز یکی از اصولی ترین مفاهیم در توپولوژی عمومی است. یک افراز اجتماعی از یک فضا، مجموعه ای از زیرمجموعه های آن فضا است که بر اصول تعریف چند اصلی توپولوژیک مانند جمع پذیری و اشتراک پذیری برخوردارند. این مفهوم می تواند ارتباطات مهمی را در مورد پیوستگی، جداسازی، و ساختار فضایی فراهم کند.

در توپولوژی عمومی، مفهوم نزدیکی و پیوستگی از اهمیت بسزایی برخوردار است. توپولوژی عمومی به بررسی ساختارهای فضایی می پردازد که تحت تغییرات پایدار مانند تحولات جبری یا تحولات دیفرانسیلی حفظ می شوند. از این رو بررسی خصوصیات فضاها و ارتباطات بین نقاط آن ها توسط توپولوژی عمومی با دقت و دقت بالا انجام می شود.

این حوزه از ریاضیات، دامنه ی گسترده ای از کاربردها در زمینه هایی همچون فیزیک نظریه ی ریسمان ها، علوم کامپیوتر و الگوریتم ها، هندسه مختصر، و علوم زیستی دارد. در عین حال، توپولوژی عمومی و تئوری های وابسته به آن، موضوعاتی از طبقه ی پیچیده تر و توسعه یافته تر با جزئیات مفصل بسیاری هستند که نیازمند ارتباط و درک گسترده از مفاهیم و نظریه های ریاضیاتی درون توپولوژی می باشند.