بررسی مدل های ریاضی رشد جمعیت و پیش بینی روند آن با استفاده از معادلات لوجستیک و تصادفی

پژوهش حاضر با هدف بررسی مدل های ریاضی رشد جمعیت و پیش بینی روند آن با استفاده از معادلات لوجستیک و تصادفی انجام شده است. رشد جمعیت به عنوان یکی از مهم ترین و پیچیده ترین پدیده های جمعیتی، اقتصادی، اجتماعی و زیست محیطی، از دیرباز مورد توجه ریاضی دانان، آماردانان و جمعیت شناسان قرار داشته است. مدل سازی ریاضی رشد جمعیت، ابزاری قدرتمند برای درک سازوکارهای حاکم بر تغییرات جمعیتی، تحلیل روندهای گذشته و پیش بینی سناریوهای آینده فراهم می کند. در این میان، دو خانواده اصلی مدل ها بیشترین کاربرد را دارند: مدل های قطعی که بر اساس معادلات دیفرانسیل معمولی و با فرض ثابت بودن پارامترها، روند رشد را توصیف می کنند، و مدل های تصادفی که با در نظر گرفتن نوسانات، عدم قطعیت و عوامل تصادفی، تصویر واقع بینانه تری از رشد جمعیت ارائه می دهند. مدل لوجستیک که توسط پیر فرانسوا ورهولست در سال ۱۸۳۸ معرفی و بعدها توسط ریموند پرل و لاول رید توسعه یافت، یکی از پرکاربردترین مدل های قطعی رشد جمعیت است که بر اساس مفهوم «ظرفیت برد» یا «حد اشباع» محیط، رشد اولیه نمایی و سپس کاهش تدریجی نرخ رشد تا رسیدن به سطح پایدار را توصیف می کند. در کنار این مدل، معادلات دیفرانسیل تصادفی که به معادلات لانژوین و معادلات فوکر-پلانک منجر می شوند، امکان مدل سازی نوسانات تصادفی در نرخ رشد، ظرفیت برد و سایر پارامترها را فراهم می کنند. این پژوهش با رویکرد آمیخته (تحلیلی-عددی) و با استفاده از روش های ریاضی و شبیه سازی رایانه ای اجرا گردید. جامعه تحلیلی شامل داده های جمعیتی ایران در بازه زمانی ۱۳۳۵ تا ۱۴۰۰ (سرشماری های عمومی نفوس و مسکن) و داده های جمعیتی جهانی در بازه ۱۹۵۰ تا ۲۰۲۳ (بانک جهانی) بود. مدل های رشد جمعیت شامل مدل نمایی، مدل لوجستیک، مدل لوجستیک تعمیم یافته، مدل گومپرتز، مدل ریچاردز، مدل بسط یافته لوجستیک با پارامترهای متغیر، و مدل های تصادفی (معادله لانژوین با نویز ضربی و جمعی، معادله فوکر-پلانک، و مدل های تصادفی گسسته) بر داده ها برازش داده شدند. پارامترهای مدل ها با استفاده از روش های حداقل مربعات غیرخطی، بیشینه درست نمایی و الگوریتم های بهینه سازی عددی (الگوریتم لونبرگ-مارکوارت، الگوریتم ژنتیک) برآورد شدند. کیفیت برازش مدل ها با معیارهای ضریب تعیین، ریشه میانگین مربعات خطا، معیار اطلاعات آکائیکه و معیار اطلاعات بیزی ارزیابی شد. پیش بینی روند آینده جمعیت ایران تا سال ۱۴۲۰ و جمعیت جهانی تا سال ۲۱۰۰ با استفاده از مدل های برتر انجام گردید. یافته های پژوهش نشان داد که مدل لوجستیک تعمیم یافته با پارامترهای متغیر، بهترین برازش را به داده های جمعیتی ایران دارد و مدل ریچاردز برای داده های جمعیتی جهانی مناسب تر است. نتایج پیش بینی نشان داد که جمعیت ایران در دهه های آینده با کاهش نرخ رشد و حرکت به سمت سطح اشباع روبرو خواهد بود و جمعیت جهانی نیز تا پایان قرن بیست و یکم به حدود ۱۰ تا ۱۱ میلیارد نفر خواهد رسید. مدل های تصادفی نشان دادند که نوسانات تصادفی می توانند به طور قابل توجهی بر پیش بینی های بلندمدت تاثیر بگذارند و فواصل اطمینان پیش بینی را گسترده تر کنند.

کلیدواژه ها:

مدل سازی ریاضی ، رشد جمعیت ، معادله لوجستیک ، معادلات تصادفی ، معادله لانژوین ، معادله فوکر-پلانک ، پیش بینی جمعیت ، ظرفیت برد