ارائه و اثبات قضیه ی نقطه ثابت برای نگاشت های انقباضی تعمیم یافته در فضاهای متریکی کامل

نظریه نقطه ثابت به عنوان یکی از ارکان اساسی آنالیز ریاضی، ابزاری قدرتمند برای اثبات وجود و یکتایی جواب در معادلات دیفرانسیل، انتگرال و مسائل بهینه سازی فراهم می آورد. با وجود کارآمدی قضیه انقباضی باناخ، محدودیت های ساختاری در تعریف نگاشت های انقباضی کلاسیک، کاربرد این قوانین را در فضاهای پیچیده تر با چالش مواجه کرده است. از این رو، تعمیم این نگاشت ها برای پوشش طیف وسیع تری از توابع غیراسنادی ضرورت یافته است.هدف پژوهش:هدف اصلی این مقاله، معرفی رده ی جدیدی از نگاشت های انقباضی تعمیم یافته و اثبات قضایای وجود و یکتایی نقطه ثابت برای این نگاشت ها در بستر فضاهای متریکی کامل است. این پژوهش در پی آن است تا با تضعیف شرایط انقباضی کلاسیک، پایداری جواب را در شرایط کلی تر تضمین نماید.روش شناسی:در این مطالعه، با بهره گیری از روش های تکرار پیکارد (Picard iteration) و استفاده از توابع کنترل کننده (Comparison functions)، یک شرط انقباضی نوظهور تعریف شده است که نه تنها فاصله ی تصاویر، بلکه ترکیبی خطی از فواصل نقاط نسبت به یکدیگر و نسبت به تصاویرشان را در نظر می گیرد. برای اثبات همگرایی، از ویژگی کامل بودن فضای متریک و بررسی دنباله های کوشی استفاده شده است.یافته ها:نتایج ریاضی حاصل از این پژوهش نشان می دهد که برای نگاشت های انقباضی تعمیم یافته پیشنهادی، همواره یک نقطه ثابت منحصربه فرد وجود دارد. همچنین ثابت شد که دنباله تکرارهای ایجاد شده از هر نقطه دلخواه در فضا، با نرخ همگرایی مشخصی به سمت این نقطه ثابت میل می کند. این یافته ها، تعمیمی مستقیم بر نتایجی نظیر قضایای کانان (Kannan) و چاترجیا (Chatterjea) محسوب می شوند.نتیجه گیری:اثبات ارائه شده در این مقاله نشان می دهد که با بازتعریف ضرایب انقباضی و استفاده از ساختار فضاهای متریکی کامل، می توان دامنه کاربرد قضایای نقطه ثابت را در علوم مهندسی و محاسباتی گسترش داد. این چارچوب نظری جدید، بستری مناسب برای حل مسائل تقریب و پایداری در سیستم های دینامیکی فراهم می آورد.