شار کالابی روی رویه های ریمانی

قضیه ی یکنواخت سازی یکی از قضایای مهم در آنالیز مختلط است. از جمله نتایج این قضیه آن است که هر رویه ی ریمانی فشرده متریکی با انحنای گاووسی ثابت می پذیرد. یکی از راه های مدرن اثبات قضیه ی یکنواخت سازی استفاده از شار های هندسی است. پس از کار درخشان پرلمان برای اثبات حدس پوانکاره، برخی نویسندگان اثبات هایی برای این قضیه بر اساس شارهای انحنا ارائه کردند. در یکی از کارهای مهم این حوزه، تیان با استفاده از شار ریچی قضیه ی یکنواخت سازی را ثابت کرد. بعدتر، چن با استفاده از شار کالابی اثبات دیگری از این قضیه را ارائه نمود. برعکس شار ریچی، شار کالابی معادله دیفرانسیلی سهموی از مرتبه چهار است، و کار کردن با چنین معادله های دیفرانسیلی به خاطر برقرار نبودن اصل ماکزیمم دشوار است. حتی اثبات وجود جواب در زمانهای طولانی برای شار کالابی ساده نیست و برای بعدهای بیشتر یا مساوی ۲، مساله ای باز است. در یکی از کارهای بسیار مهم سالهای اخیر، چن و چنگ ابزاری بسیار قدرتمند برای کار بر روی معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه ۴ ساخته اند. در این مقاله، با استفاده از نتیجه ی یاد شده، اثبات جدیدی برای وجود جواب در زمان طولانی برای شار کالابی روی رویه های فشرده ی ریمانی از گونای مثبت ارائه می کنیم.

کلیدواژه ها:

شار کالابی ، خمینه های ریمانی ، قضیه یکنواخت سازی