بررسی و توسعه نظریه عملگرهای کوبنده و کاربردهای آن در فضای های Banach و Hilbert در بهینه سازی و مسائل کنترل

امروزه نظریه عملگرهای کوبنده به عنوان یکی از ابزارهای کلیدی در آنالیز تابعی، بهینه سازی و کنترل مطرح است. توسعه روزافزون مسائل پیچیده در شاخه های مختلف علوم ریاضی و مهندسی، نیاز به چارچوب های نظری دقیق و ابزارهای تحلیلی قدرتمند را دوچندان کرده است. عملگرهای کوبنده، به ویژه در فضاهای Banach و Hilbert، نقشی حیاتی در مطالعه مسائل دارای قیود ایفا می کنند و راهکارهایی بنیادین برای حل آن ها ارائه می دهند. به طور خاص، این عملگرها امکان تحلیل و حل مسائل متعددی اعم از تقریب بهترین، حل معادلات اپراتوری، بهینه سازی مسائل محدب، و طراحی کنترلرهای مقاوم را فراهم می کنند. وجود ساختار هندسی ویژه در فضاهای Hilbert، سبب می شود که عملگرهای کوبنده از خواص منحصربه فردی همچون غیرمنقبض بودن برخوردار باشند، در حالی که گسترش این مفاهیم به فضاهای Banach چالش های قابل توجهی را به همراه دارد. در پژوهش حاضر، یک بررسی جامع بر روی نظریه کلاسیک و توسعه یافته عملگرهای کوبنده صورت گرفته است، به گونه ای که هم مفاهیم بنیادی و هم راهکارهای نوین مورد بحث قرار گیرد. ابتدا به معرفی دقیق فضاهای Banach و Hilbert و نحوه تعریف عملگرهای کوبنده در هر یک از این فضاها پرداخته ایم. سپس تفاوت های ساختاری، ویژگی های همگرایی و پیوستگی این عملگرها را مورد مطالعه تحلیلی قرار داده ایم. بررسی تعمیم های نظری از قبیل عملگرهای غیرمنقبض، عملگرهای میانگیر و دیگر صورت بندی های نوین نیز بخشی از این مطالعه را تشکیل می دهد. از سوی دیگر، مقاله حاضر به بررسی عمیق کاربرد عملگرهای کوبنده در الگوریتم های بهینه سازی محدب و حل مسائل کنترل پارامتری پرداخته است. بهره گیری از این عملگرها در الگوریتم های تصویربرداری، روش های مبتنی بر تصویر و فرافکن، و مسئله کنترل سامانه هایی با قیود خطی و غیرخطی به صورت جامع ارائه شده است. مطالعه رفتار همگرایی این الگوریتم ها، تضمین پایداری آن ها و بررسی ضعف ها و قوت های هر رویکرد، بخش قابل توجهی از مقاله را به خود اختصاص داده است. با تمرکز بر گسترش نظریه عملگرهای کوبنده به فضاهای Banach غیرهیلبرتی، نقاط قوت و خلاهای موجود در ادبیات علمی مورد بررسی قرار گرفته و پیشنهاداتی جهت تحقیقات آتی ارائه می شود.

کلیدواژه ها:

عملگرهای کوبنده ، فضاهای بانخ ، فضای هیلبرت ، بهینه سازی محدب ، مسائل کنترل