توابع اندازه‌پذیر با مجموعه‌ی معینی از نماهای انتگرال‌پذیری

در یک فضای اندازه‌ی ‎$(\Omega,\mathcal{A},\mu)$‎، برای هر تابع ‎$\mathcal{A}$-‎اندازه‌پذیر ‎$f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$‎ مجموعه‌ی‎\break $\mathcal{E}(f)=\{p\in(0,+\infty)\,:\,f\in\mathcal{L}^p(\mu)\}$‎ همواره یک بازه است، که ممکن است تباهیده باشد، اما در حالت کلی نمی‌تواند هر بازه‌ی دلخواه ‎$I$‎ مشمول در ‎$(0,+\infty)$‎ باشد. بنابراین به توصیف فضاهای اندازه‌ای می‌پردازیم که برای آن‌ها ‎$\mathcal{E}(f)$‎ می‌تواند هر زیربازه‌ی دلخواهی از ‎$(0,+\infty)$‎ باشد. نشان می‌دهیم که آن‌ها دقیقاً فضاهای اندازه‌ای هستند که در آن‌ها هیچ شمولی بین فضاهای ‎$\mathcal{L}^p(\mu)$‎ متفاوت وجود ندارد.

کلیدواژه ها:

تابع اندازه‌پذیر ، نمای انتگرال‌پذیری ، فضای اندازه