تاریخچه انتگرال گیری

اولین تکنیک نظام مندی که قادر به تعیین انتگرال، روش افنا بود که توسط ستاره شناس یونان باستان، اودوکسوس (حدود ۳۷۰ قبل از میلاد) معرفی شد. در این روش مساحت ها و حجم ها به تعداد نامتناهی تکه که مساحت یا حجم هر کدام از آن تکه ها معلوم بود تقسیم بندی می شدند. ارشمیدس این روش را ارتقاء داده و از آن در قرن سوم قبل از میلاد استفاده کرد تا مساحت های سهمی و دایره را به کمک آن به دست آورد.

روش مشابهی به طور مستقل در حدود قرن سوم بعد از میلاد توسط میو هوی در چین به دست آمد، او از این روش برای به دست آوردن مساحت دایره استفاده کرد. این روش بعدها در قرن پنجم میلادی توسط ریاضیدانان پدر و پسر چینی یعنی زو چونگژی و زو گنگ برای به دست آوردن حجم یک کره (Shea 2007; Katz 2004، صص. ۱۲۵–۱۲۶) مورد استفاده قرار گرفت.

در خاورمیانه، حسن ابن الهیثم (نام لاتین شده او Alhazen است) (۹۶۵–۱۰۴۰ میلادی) فرمولی برای جمع توان های چهارم به دست آورد. او از این فرمول برای به دست آوردن چیزی استفاده کرد که اکنون می دانیم انتگرال آن تابع است، وی از آن برای محاسبه حجم یک سهمی گون استفاده نمود.[۱]

تا قرن هفدهم میلادی پیشرفت مهمی در حساب انتگرال صورت نگرفت. در این زمان بود که روش کاوالیری یعنی روش تقسیم ناپذیرها، و همچنین کارهای فرما، بنیانگذاری حساب مدرن را کلید زدند. کاوالیری در فرمول های مربع کاوالیری خود، انتگرالهای xn📷 را تا درجه n=۹ محاسبه کرد. قدم های بعدی در اوایل قرن هفدهم میلادی توسط بارو و توریسلی برداشته شد، آن ها اولین نشانه های ارتباط انتگرال و دیفرانسیل را ارائه نمودند. بارو اولین اثبات قضیه اساسی حساب را ارائه داد. والیس روش کاوالیری را برای محاسبه انتگرال های توان های عمومی x تعمیم داد، به گونه ای که شامل توان های منفی و حتی توان های کسری نیز می شد.

ویرایشنیوتون و لایبنیز

در قرن هفدهم میلادی، با اکتشافات مستقل قضیه اساسی حساب توسط لایبنیز و نیوتون، پیشرفت عمده ای در انتگرال گیری به وجود آمد. لایبنیز کار خود در ارتباط با حساب را قبل از نیوتون منتشر کرد. این قضیه ارتباطی بین انتگرال گیری و دیفرانسیل گیری را اثبات می کند. این ارتباط، از ترکیب سادگی نسبی دیفرانسیل گیری استفاده کرده و از آن در جهت فرایند انتگرال گیری استفاده می کند. به خصوص، قضیه بنیادی حساب امکان حل دسته وسیع تری از مسائل را می دهد. چارچوب ریاضیاتی جامعی که هردوی لایبنیز و نیوتون به وجود آوردند از نظر اهمیت در یک سطح هستند. با استفاده از مفهوم حساب بی نهایت کوچک ها، امکان تحلیل دقیق توابع با دامنه های پیوسته فراهم گشت. این چارچوب در نهایت منجر به ایجاد حسابان شد، ضمن این که نماد انتگرال گیری در حسابان به طور مستقیم از کارهای لایبنیز برگرفته شده است.

ویرایشصوری سازی

درحالی که نیوتون و لایبنیز رهیافت نظام مندی به انتگرال گیری ارائه نمودند، کارهای آن ها فاقد درجه ای از استواری و استحکام ریاضیاتی بود. بیشاپ برکلی، حمله بیاد ماندنی به روش افزایش ناپدید شونده نیوتون کرد و آن را «ارواح کمیت های مرده» نامید. با توسعه حد، حسابان مجهز به بنیان مستحکمی گشت. ابتدا انتگرال گیری با کمک حدود توسط ریمان از نظر ریاضیاتی مستحکم شد. گرچه که تمام توابع تکه به تکه پیوسته در بازه ای کراندار ریمان-انتگرال پذیرند، اما مثلا به طور خاص در بستر آنالیز فوریه با توابعی سروکار داریم که بر اساس روش ریمانی انتگرال پذیر نیستند، لذا به مرور با توسعه تعریف انتگرال گیری، مثل فرمول انتگرال گیری لبگ، توابع بیشتری در دایره توابع انتگرال پذیر قرار گرفتند و بدین طریق نظریه اندازه (زیر شاخه ای از آنالیز حقیقی) شکل گرفت. تعاریف دیگر انتگرال که هردو رهیافت ریمانی و لبگ را بسط می دهند نیز پیشنهاد شده اند. این رهیافت ها بر اساس سیستم اعداد حقیقی بوده و امروزه رایج اند، اما رهیافت های دیگری نیز وجود دارند که بر اساس دستگاه اعداد فراحقیقی بنیان نهاده شده اند و از بخش استاندارد (مربوط به آنالیز غیر استاندارد) جمع بی نهایت ریمانی برای تعریف انتگرال استفاده می کنند.