روش های شبه طیفی برای حل عددی مسائل کنترل بهینه

روش شبه طیفی برای حل مسائل کنترل بهینه(Pseudospectral Methods for Solving Optimal Control Problems)

روش های عددی مختلفی برای حل مسائل کنترل بهینه استفاده می شود که استفاده از هر کدام بستگی به مساله مورد مطالعه دارد.

در روش های عددی جواب بهینه برای مساله کنترل بهینه تقریب زده می شود.

روش های عددی برای حل مسائل کنترل بهینه به سه گروه کلی دسته بندی می شود:

1- روش غیرمستقیم (بهینه سازی و سپس گسسته سازی با روش های عددی مانند تفاظلات متناهی): در این روش ها با استفاده از روش های حساب تغییرات، معادلات شرایط بهینگی (برای مثال معادلات اویلر لاگرانژ یا اصل بهینگی پونتریاگین) بدست می آید. سپس این معادلات که ساختار معادلات شرایط مرزی دارند با روش های عددی حل می شوند.

2-روش های مستقیم (گسسته سازی و سپس بهینه سازی مانند روش های پرتابی(shooting) و روش های کالوکیشن (collocation): در این دسته از روش ها، با استفاده از روش های گسسته سازی مساله کنترل بهینه زمان پیوسته تبدیل به یک مساله برنامه ریزی غیرخطی می شود و سپس توسط روش های بهینه سازی غیرخطی حل می شود.

- روش های برنامه ریزی پویا (Dynamic Programming):برنامه نویسی پویا یک روش بهینه سازی ریاضی برای بدست آوردن جواب بهینه از طریق تجزیه آن به زیرمسئله های کوچکتر و حل آن مسائل کوچکتر به صورت بازگشتی است. برای حل مسائل برنامه ریزی پویا از معادله بلمن(Bellman equation) استفاده می شود.

همچنین معادله بلمن در یادگیری تقویتی برای تعریف تابع مقدار(value function) استفاده می شود، که تابعی است که از حالت ها به پاداش های مورد انتظار نگاشت می شود.

روش شبه طیفی(Pseudospectral Methods)

روش های شبه طیفی یک گروه از روش های کالوکیشن متعامد هستند که از چندجمله های متعامد برای تقریب متغییرهای حالت و کنترل استفاده می کنند. ایده اصلی این روش ها استفاده از چندجمله ای ها برای تقریب متغیرهای حالت و کنترل در یک مساله کنترل بهینه است، و سپس معادلات دیفرانسیل مسئله کنترل بهینه را در نقاط انتگرال گیری عددی گاوسی ترکیب می کنند. در این روش مسئله کنترل بهینه (زمان پیوسته) به یک مسئله برنامه ریزی غیرخطی (NLP) (زمان گسسته) تبدیل می کند، که سپس با استفاده از الگوریتم های بیهنه سازی غیرخطی این مسالهNLP قابل حل است.

به بیان دیگر، روش های شبه طیفی شامل روش های مستقیم کالوکیشن متعامد است از چندجمله های متعامد برای تقریب جواب مساله کنترل بهینه استفاده می نماید. روش های شبه طیفی بر اساس چندجمله ای مورد استفاده و رویه تقریب متغییرهای حالت و کنترل به تکنیک های مختلفی تقسیم می شوند، از جمله:

- روش شبه طیفی گوسی

- روش شبه طیفی لژاندر

- روش شبه طیفی چبیشف