زیرگروه های فازی p-گروه های آبلی مرتبه دو

در این پایاننامه، هدف اصلی ارائهی روشی سیستماتیک برای شمارش تعداد زیرگروههای فازی در کلاس خاصی از **p-گروههای آبلی متناهی از مرتبه دو** (یعنی گروههایی از مرتبه p^2 یا به بیان دقیقتر، گروههایی با ساختار {Z}_{p^2} یا {Z}_p {Z}_× p میباشد. برای دستیابی به این هدف، ابتدا مفهوم **زنجیرهای ماکسیمال** از زیرگروهها را در این گروهها معرفی کرده و تعداد آنها را به کمک ساختار شبکهای زیرگروهها به دست میآوریم؛ سپس با بهرهگیری از **مرتبه هر زیرگروه**، یک **روش برچسبگذاری خاص** بر روی زیرگروههای حاضر در هر زنجیر ماکسیمال اعمال میکنیم به گونهای که هر زیرگروه فازی (که به صورت یک تابع نزولی از زیرگروهها به بازه [0,1] تعریف میشود) را بتوان به طور یکتا با دنبالهای از برچسبها متناظر ساخت. این برچسبگذاری، شمارش را به مسئلهای ترکیبیاتی تبدیل میکند که در آن تعداد توابع غیرنزولی روی زنجیرهای ماکسیمال، با در نظر گرفتن همپوشانیهای بین زنجیرهای مختلف، محاسبه میشود. در نهایت، با استفاده از **استدلال استقرایی** بر روی مرتبه گروه و نیز بر روی طول زنجیرهای ماکسیمال، فرمول بستهای برای تعداد کل زیرگروههای فازی (شامل زیرگروههای فازی از نوع معمولی، نرمال و با شرایط مرزی خاص) اثبات کرده و صحت نتایج را برای تمامی حالتهای ممکن گروههای آبلی از مرتبه دو تایید مینماییم؛ به گونهای که روش ارائهشده قابلیت تعمیم به گروههای آبلی متناهی بزرگتر را نیز دارا باشد.

کلیدواژه ها:

هم ارزی ، زیرگروه فازی ، زنجیرکلیدی ، زنجیرماکسیمال ، گره-p