ربابه افخمی - گروه ریاضی، دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران مرکزی، تهران، ایران
نسیم اصغری - گروه ریاضی، دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران مرکزی، تهران، ایران
علیرضا مدقالچی - گروه ریاضی، دانشکده ی ریاضی، دانشگاه خوارزمی، تهران، ایران
فیروز پاشائی - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه مراغه، مراغه، ایران

پیشینه و اهداف: اصول و استانداردهای ریاضیات مدرسه ­ای (NCTM) در شاخه جبر، استانداردهایی را مطرح می­کند که توسعه­ فهم دانش ­آموزان از نمادین ­سازی جبری و به ­ویژه، درک مفهوم متغیر را، از نیازهای اساسی دانش ­آموزان می ­داند. تفکر تابعی نیز، شاه راه تفکر جبری است و معلمان، بایستی آن را به عنوان قلب و روح آموزش ریاضی به شمار آورند. الگوهای شکلی، مشخصه­ هایی دارند که برای شروع تعمیم و توسعه تفکر تابعی، مطلوب هستند و می­ توان در ریاضیات مدرسه ­ای از آن بهره برد. همچنین، توجه به ساختار ریاضی باید بخش مهمی از یاددهی و یادگیری ریاضی باشد. ساختار یک الگوی ریاضی، روشی است که یک الگو، سازماندهی شده و غالبا به شکل تعمیم بیان می ­شود. هدف این تحقیق، بررسی عملکرد دانش ­آموزان در ساخت مفهوم تعمیم الگوهای شکلی براساس نظریه­ APOS (عمل-فرآیند- شیء و طرح­واره) و ارتقای سطوح با استفاده از حالت­های آگاهی از ساختار است و معلمان و دانش­ آموزان را کمک خواهد کرد تا ارزیابی دقیق­تری از فرآیند تعمیم الگوهای شکلی، داشته باشند و مشکلات را بهتر شناسایی کرده و سطح درک خود را بهبود دهند.روش ها : روش جمع ­آوری داده­ ها، کمی-کیفی و ابزار جمع­آوری داده ها، شامل آزمون محقق ساخته و مصاحبه نیمه­ ساختاریافته بود. جامعه آماری، دانش ­آموزان پایه هفتم مدارس دولتی شهرستان ملکان (آذربایجان­شرقی) به تعداد ۴۹۳ نفر بودند.  مطابق با فرمول تعیین حجم نمونه کوکران، تعداد ۲۲۰ نفر دانش­آموز دختر و پسر پایه هفتم انتخاب شدند و در آزمون محقق ­ساخته شرکت کردند. روایی آزمون را سه آموزشگر ریاضی و چهار معلم مجرب، بررسی کرده و مورد تایید قرار دادند. پایایی آزمون و هماهنگی درونی سوال­ها با یافتن ضریب آلفای کرونباخ و آلفای ۶۹/۰ تایید شد.یافته ها: سازه ­های ذهنی دانش­ آموزان، طبق نظریه­ APOS در تعمیم الگوهای شکلی، شناسایی شد. بیشترین درصد پاسخ گویی درست در سطح عمل و کمترین درصد در سطح شیء بود. مراحل APOS سلسله مراتبی و از ساده به پیچیده است و نتایج این تحقیق، تاییدی بر ویژگی­ های این نظریه­ است. در سطح عمل، حدود ۱۸ درصد دانش­ آموزان ناموفق بودند که طبق اولین حالت­ توجه به ساختار، خیره نگاه کردن به الگوی شکلی به عنوان ابزار ارتقای فهم این دانش ­­آموزان معرفی شد. حدود ۶۰ درصد در سطح فرآیند، ناموفق بودند که تمییز جزئیات و شناسایی روابط دومین و سومین حالت­ های توجه به ساختاری هستند که دانش ­­آموزان را در رسیدن به سطح فرآیند کمک می­کنند. حدود ۸۸ درصد دانش­­ آموزان به سطح شیء نرسیده بودند که ادراک ویژگی­ های الگوهای شکلی به عنوان چهارمین حالت توجه، ابزار کمکی برای ارتقای سطح معرفی شد. استدلال بر مبنای ویژگی­ها نیز، آخرین حالت توجه به ساختار هست که برای رساندن دانش ­­آموزان به سطح طرح­واره در نظریه­ APOS می­ تواند کارساز باشد.نتیجه گیری: این تحقیق، چهارچوبی برای سنجش و ارزیابی دانش ­آموزان در تعمیم الگوهای شکلی فراهم کرده است که معلمان می­ توانند از آن در آموزش بهتر این مفهوم استفاده کنند. در هر مرحله، می ­توان راهکارهایی متناسب با سطح دانش ­آموز ارائه داد تا درک او از تعمیم، به سطوح بالاتر، ارتقا یابد. این تحقیق، قدرت نظریه APOS را در سازگاری با سایر نظریه­ های ساخت و سازگرا نشان می­ دهد. تطبیق نظریه­ APOS با نظریه­­ آگاهی از ساختار و بهره ­مندی از این تطبیق در جهت ارتقای سطح درک دانش­ آموزان پایه­ هفتم در تعمیم الگوهای شکلی از جنبه ­های نوآورانه­ این تحقیق محسوب می ­شود.

تعمیم الگوهای شکلی, نظریه یAPOS, آگاهی از ساختار